Преди да стане дума за фракталните форми искам да направя кратко обобщение относно представата ни за Вселената и процесите протичащи в нея. Всъщност тези представи са изключително много и най-различни, като само една малка част от тях могат да бъдат обединени в групи като научни, религиозни, окултни и т.н. Почти винаги тези представи са в противоречие една с друга и общото между тях е, че представляват някаква подредба на Вселената. Разумът винаги успява да открие или измисли някаква подреденост. Казвам „да открие или измисли” защото е невъзможно да се разбере дали Вселената наистина притежава някаква подредба. Спорът дали измисляме или откриваме се води от хилядолетия.
Друго общо между различните представи за света е, че те не успяват да подредят цялата Вселена. Частичната подредба е характерна както за най-наивните, така и за най-уважаваните представи. Например в групата на религиозните представи главните обекти и явления са подредени, но дребните детайли и процеси не са никак изяснени. Докато при групата на научните представи процеса на подредба се движи от простото към сложното. Например, тръгвайки от определянето на формата на Земята и нейните размери, преминавайки през откриването на Слънчевата система, определянето на формата на Млечния път, учените в днешно време са стигнали до търсенето на формата на Вселената и разпределението на материята в нея. И в останалите области на научното познание борбата сега се води с най-сложните структури и форми, като човешкия мозък, молекулата на ДНК, проявата на турбулентност, перколации и т.н. Ежедневно сме в контакт със системи притежаващи суперсложна форма като реки, облаци, мълнии, растения, планини, обществени формации, пазарът на стоки и валута и още много други. Невъзможността на науката да разбере какво поражда тяхната форма и как точно функционират тези системи води до въвеждане на термина „случайност”. Това е думата с която се запълват всички места на поражение на научното познание. И тук е мястото за появата на фракталните форми. Това е новото въоръжение на учените за да атакуват най-сложните структури в нашия свят и да намалят използването на думата „случайност”. Оръжие със съвсем нов начин на действие, защото както казва създателя на фракталната геометрия: „Природата демонстрира не просто по-висока степен на сложност, а съвършено различно ниво на сложност”.
Терминът „фрактал” е въведен през 1975 г. от Беноа Манделброт, за да означи група математически обекти, чрез които според неговите думи „да изследва формата на безформеното”. Необходимостта от въвеждането на тези обекти той формулира в началото на своята знаменита книга „Фрактална геометрия на природата” по следния начин:
„Защо геометрията така често е наричана „студена” и „суха”? Една от причините е нейната неспособност да опише формата на облаците, планините, дърветата или бреговата линия. Облаците не са сфери, планините – конуси, бреговата линия не може да се изобрази с помощта на окръжности, кората на дървото не може да бъде определена като гладка, нито пътя на мълнията – праволинеен.”
Какви са характеристиките на фракталните форми? Изглеждат сложно, а се създават лесно. Това може да се илюстрира чрез фрактал наречен „множество на Манделброт” показан на фиг.1 и фиг.2, който се създава от следната елементарна формула:
F(z) = z.z + c
На тези две фигури се вижда ясно най-забележителното качество на фракталите – колкото и да увеличавате детайлите, формата им продължава да се нагъва и то не произволно, а като повтарят формата на по-големите детайли. Тяхната степен на неправилност и фрагментация остава неизменна във всички мащаби или казано на езика на математиката – те са мащабно инвариантни.
Много години преди да бъде формулирана идеята за фракталите, учените са се натъквали на природни форми с такива характеристики. В началото на 20-ти век английския математик, физик, метеоролог и психолог Луис Ричардсон изследва причините за война между две държави. Той решава да провери дали има връзка между дължината на общата граница между две държави и вероятността те да влезат във война. Докато събира данни, Ричардсон забелязва големи различия в официално установените дължини на международните граници. Например, относно сухопътната граница между Испания и Португалия, в испанската енциклопедия тя е 987 км, а в португалската енциклопедия – 1214 км. Това е несъответствие с около 20%. Такова голямо разминаване открива и в данните за границата между Холандия и Белгия, съответно 380 км и 449 км. Ричардсон започва изследване как се променя измерената дължина на границата, като се променя единицата за измерване. За да избегнем сложните технически подробности, можем да представим това изследване по следния начин. Уговаряме един великан с 10 километрови крачки да премери бреговата линия на Англия. След това пускаме по-малък великан с 1 километрова крачка да направи същото измерване. След него още по-малък великан с 100 метрова крачка измерва бреговата линия. Като се сравнят крайните резултати се оказва, че колкото е по-малък великана и съответно неговата крачка, толкова по-дълга е измерената брегова линия. Което значи, че колкото по-детайлно разглеждаме тази линия, дължината й расте неограничено. Това е типично за фракталните линии. Разбира се, по това време фракталите и техните свойства не са били още дефинирани, така че Ричардсон не е могъл да обясни получените резултати. Графиките на фиг.3 е са открити след смъртта на учения сред неговите книжа. Забележете, че графиката за окръжността, която не е фрактална крива, става хоризонтална и се установява на определено число, което е нейната истинска дължина. Докато графиките на различните граници и крайбрежия имат един постоянен наклон и няма тенденция да се установят на някаква конкретна дължина и тя си расте до безкрайност. Въпреки тяхната безкрайна дължина, тези криви могат да бъдат сравнявани чрез ъгъла на наклона на графиките им. Различния ъгъл съответства на различната степен на нагънатост на бреговите линии и граници. Това всъщност е фракталната им размерност – термин който въвежда Манделброт, като характеристика на фракталните форми. С някои изключения фракталната размерност е дробно число и е винаги по-голяма от топологичната размерност на формата. Това значи, че за фрактално множество от точки, фракталната размерност е по-голяма от 0, за фрактална крива – по-голяма от 1, за фрактална повърхност – по-голяма от 2 и т.н.
На фиг.4 е даден пример за фрактална повърхност, създадена с компютър. Впечатляващо е как толкова сложна форма, може да се създаде само с една формула и колко близка е тя до реалните географски форми. Такъв тип фрактали се използват в съвременото кино за изкуствено създаване на пейзажи.
След като разгледахме дотук геометричната сложност на фракталните форми, можем да се съсредоточим върху тяхната структурна подреденост. В грубо приближение големите детайли на бреговата линия са геометрично идентични с малките, разликата е само в мащабите. Ако разглеждате един фрактал като увеличавате различни негови детайли продължавате да виждате една и съща форма. Когато всяка част от някаква форма е геометрично подобна на цялото, то тя се нарича самоподобна. Това свойство добре се вижда на фиг.5 и фиг.6 – снимки на Италиански карфиол, получен чрез кръстосване на броколи и карфиол.
Нека да послушаме съвета на Манделброт, който гласи, че когато наблюдаваме една сложна форма, трябва да мислим не за това което виждаме, а за това как можем да я създадем. Оказва се че това никак не е трудно. Нека да си направим един фрактал, който е идеализирано приближение на бреговата линия. Това е така наречената троична крива на Кох. На фиг.7 е са показани първите етапи от нейното построяване.
Започваме с равностранен триъгълник. Разделяме всяка страна на три равни части, като средната част я „пречупваме” навън във формата на по-малък равностранен триъгълник. На така получилата се фигура прилагаме същата операция върху всяка една от страните й. Върху страните на новополучената фигура прилагаме отново същата операция и така до безкрайност. Всяко повторение на тази трансформация върху елементите на фигурата се нарича итерация. След всяка итерация кривата на Кох увеличава дължината си. Получава се една безкрайно начупена линия. Елемент от нея е илюстриран в долната част на фиг.7.
Така чрез конструирането на този фрактал успяваме да разберем по-добре простотата на създаване и сложността на резултата, безкрайното начупване на линията, нейното самоподобие и безкрайна дължина.
Обаче се забелязва и още нещо – кривата на Кох е прекалено симетрична и прогнозируема за да бъде модел на бреговата линия. За по-точното моделиране на природна фрактална форма много често се налага да се усложни формулата като се използва и елемент на случайност. Това се така наречените случайни фрактали. При построяването на случаен фрактал, вместо една и съща промяна да се прави при всяка итерация, се използва набор от няколко различни трансформации. Преди всяка итерация по случаен начин се избира коя от всички трансформации да бъде приложена върху елементите на фигурата.
Запознавайки се с фракталната геометрия на Манделброт, човек неименуемо стига до въпроса защо тези форми не са били открити и дефинирано по-рано. Кое ги прави толкова невидими, макар че сме изградени от тях и живеем сред тях. Една от причините е супер сложната им форма и нашата опитност, която ни е научила, че простите неща се създават лесно, а сложните – трудно. Друга причина е, че сме свикнали да търсим подредба само в един мащаб, което прави много фрактални форми невидими. Това лесно може да се илюстрира чрез едно построение на Кантор, показано на фиг.8 и наречено „Канторов прах”. За създаването му взимаме една отсечка и я делим на три равни части. Премахваме средната част, а върху останалите две прилагаме същата операция на делене и премахване. Човек би предположил, че в края на тези многочислени итерации от отсечката не би останало нищо. В действителност крайния резултат е безкрайно множество от точки със специфична подредба. На фиг.8 са показани първите няколко операции за създаването на Карторовия прах и как се подреждат остатъците от отсечката. За да видим какво се случва при следващите итерации се налага да увеличим мащаба за да видим малките детайли. Обаче тогава голяма част от другите детайли излизат от нашето полезрение и губим представа за цялостната подредба. Търсенето на някаква закономерност в такова множество изисква изследването му в различни мащаби и сравняване на картините от колкото се може повече мащаби.
Когато през 1958 г. Манделброт постъпва на работа в IBM се налага да анализира шумовете появяващи се в телефонната мрежа по време на предаване на компютърни данни. Оказва се, че тяхното разпределение във времето е подобно на подредбата на „Канторовия прах”. Графиката на шумовете в интервал от 1 секунда, съвпадала с графиката им в интервал от 1 час, която пък съвпадала с графиката на шума в интервал от 1 ден. Явление като шумовите смущения, което се е смятало за напълно случаен процес, неочаквано за специалистите е разкрило своята подреденост. Това мотивира Манделброт да проведе многогодшни изследвания върху различни случайни процеси и структури, но вече от гледна точка на фракталната геометрия. Интересен резултат от тази дейност е идеята му, че разпределението на материята във Вселената има фрактална подредба, подобна на „Канторовия прах”. Използвам думата „подобна” в смисъла, че функцията за генериране на тази подредба е малко по-сложна, включва елемент на случайност и действието й е в тримерното пространство, а не в едномерно пространство, както е при „Канторовия прах”. Ценното в случая е, че Манделброт предлага подредба, докато класическите теории на физиката приемат, че материята във Вселената е разпръсната по случаен начин и може да бъде оценявана само със статистически методи. Това, обаче води до появата на някои парадокси и до не съвсем ефективна представа за света. Например, от гледна точка на статистиката, физиците твърдят, че в глобален мащаб материята във Вселената е разпределена еднородно. Обаче, мащаба от който ние наблюдаваме Космоса, не показва такова разпределение и теорията не дава задоволителен отговор как се създават звездните купове, галактики и къде е невидимата тъмна материя. Дори напръв поглед елементарния въпрос защо през нощта небето е тъмно, няколко века не може да получи отговор. Това е така наречения „парадокс на Олберс” – ако Вселената е безкрайна и звездите са разпределени хаотично, би трябвало накъдето и да погледнем да виждаме звезда. Крайния резултат би бил едно равномерно осветено небе, светещо с яркостта на Слънцето. Всеки човек, обаче вижда, че нощем небето си остава тъмно и едва когато се формулира теорията за разширяващата се Вселена, учените успяват да предложат някакво обяснение на този парадокс. Те твърдят, че поради отдалечаването на звездите и галактиките една от друга, светлината от всички звезди не може да достигне до нас едновременно.
Манделброт предлага алтернативно решение – подредба, в която Вселената може да бъде безкрайна, да съдържа безкрайно много звезди и небето да си е тъмно нощем. Ако погледнете „Канторовия прах” на фиг.8 ще забележете големи пространства несъдържащи точките на това множество. Те биха съответствали на тъмните области в небето от където не идва светлина. Същевременно в останалите области съществуват безкайно количество звезди и независимо дали Вселената се свива, разширява или е статична, небето винаги ще си е тъмно нощем.
След като Манделброт формулира своята фрактална геометрия, хората започват да откриват такива структури навсякъде около себе си и много загадки в различни области на науката намират отговор. В биологията например учените не са можели да обяснят защо по-големите животни използват енергията по-ефективно от малките. Слонък тежи 200000 пъти повече от мишката, но използва само 10000 пъти повече енергия, получавана във вид на калории. Колкото е по-голямо животното, толкова по-малко енергия на килограм от теглото му е необходима за да поддържа жизнените си функции. Това съотношение е постоянно за всички организми и се изразява с формулата енергията нужна на животното = масата на степен 3/4. Но как природата успява да постигне това съотношение за всеки различен организъм? Явно енергийните ресурси се разпределят различно при животните с различни размери. Разпределението на тези ресурси е свързано с кръвоносната, дихателната, отделителна и нервната система и би трябвало всяко животно в зависимост от размера си да бъде проектирано различно от природата. Това от една страна противоречи на еволюционната теория, а от друга изисква огромен набор от инструкции записани в ДНК молекулата, за това как да се формира например кръвоносната система, така че да пренесе кислород до всяка клетка от тялото като се запази съотношението тегло-енергия. Също такъв голям набор от инструкции е необходим и за създаването на нервната, дихателната и др. системи. Дори не е ясно дали такъв набор от инструкции би могъл да съществува. Тук на помощ идват фракталите и тяхното свойство чрез локални промени да предизвикват глобални последствия. Идеята на Манделброт е, че за да създадеш една сложна система с определени параметри е необходимо само да дефинираш няколко прости инструкции, които да се прилагат многократно само на определени места. В случая с кръвоносната система това са местата на разклоняване. Единственото, което е нужно на организма е да знае след каква дължина кръвоносния съд трябва да се разклони и как точно да го направи. След това тази инструкция трябва да се повтори многократно до запълване на обема предоставен от тялото. По този начин на Природата й е необходим съвсем малък набор от инструкции, който да е еднакъв за всички организми. Така получаваме за всички организми кръвоносна система с едни и същи параметри, изразени чрез закона тегло-енергия. Разликата е само че при по-големите животни инструкциите ще бъдат повторени повече пъти.
Наред с откриването на фракталната структура на кръвоносната, дихателната, отделителната и нервна система, чрез прецизни измервания учените установяват и че ритъма на сърцето се изразява като графика подобна на графиката на шумовете при телефонните системи. Фракталните структури започват да извират от всевъзможни места. Изведнъж картините на холандския художник Мориц Ешер придобиват друг смисъл, както и пейзажите на Хокусай – японски художник живял 200 години преди Манделброт.
Интересен е случая с американския инженер и радиоастроном Натан Коен. Той бил радиолюбител, но хазяина на дома му не разрешавал да се постави антена на покрива. Един ден Коен бил на конференция по астрономия в Унгария, където Манделброт изнесъл лекция за фракталните форми. Американския инженер бил много впечатлен и решил да направи от тел антена с фрактална форма, наподобяваща кривата на Кох. Бил любопитен какво ще се получи. След като я включил бил впечатлен колко добре работи тази антена, въпреки малките й размери. Започнал да експериментира и открил още едно качество на фракталните антени – те приемали в много по-широк диапазон радиовълни. Това го накарало сериозно да се захване с теоретичната обосновка на явлението. В резултат се появила математическа теорема, която доказвала, че за да бъде една антена широколентова, формата й трябва да е самоподобна крива. Работата на Коен заинтригувало телефонните компании, които по-това време търсели начин да разширят възможностите на телефонните апарати, като съвместят в едно уоки-токи, Wi-Fi и Bluetooth. Но всяка от тези услуги изисквала различна честота на работа и около 10 различни антени. Те вече можели да бъдат заменени само с една миниатюрна антена с фрактална форма. В момента в цял свят се използват десетки милиони мобилни апарати притежаващи такава антена.
Оказва се, че фракталните форми са намерили място и в африканската култура и религия. През 80-те години на XX век един млад математик, разглеждайки аеро снимка на африканско село, забелязва в проектирането му фрактална форма. Името на математика е Рон Еглаш и той получава Фулбрайт стипендия за да отиде в Африка за една година и да проучи връзката на фракталите с африканската култура. На фиг.9 е показано селото Logone-Birni в Камерун и двореца на вожда в центъра. Фракталния модел на двореца на вожда и първите три итерации са показани на фиг.10 и фиг.11.
Когато Еглаш се среща с вожда на Logone-Birni за да си говорят за фрактали, вожда му казва: „О, да, да! Ние знаем за правоъгълника в правоъгълник. Знаем всичко за това.”
На фиг. 12, 13 и 14 е показано селото Ба-Ила в южна Замбия, което също е проектирано фрактално. Представлява пръстен с диаметър 400 метра, който си има свещено място и там е разположен домът на вожда. Около него пак в пръстен са разположени домовете на близките на вожда, като формата им е наподобява цялостния план на селото. По най-външния кръг са разположени фракталните домове на останалите жители, като всеки дом от своя страна е заобиколен от миниатюрни фрактални къщички, където живеят духовете на предците им.
Рон Еглаш допуска, че всички тези мащабируеми модели са характерни не само за Африка, но и за цялата туземска архитектура. Започва да анализира аеро снимки на индиански и южнотихоокеански селища, но се оказва че само африканските имат фрактална структура.
В Африка съществува система за гадаене по пясък, в която Еглаш съзира алгебричен метод за генериране на фрактални форми. Опитвайки се да научи подробности за начина на гадаене учения среща съпротивата на баманските свещеници, които отказват да му дадат информация. Еглаш им предлага пари, но те не приемат, защото казват че въпроса е религиозен. Отчаян от отказите на свещениците, учения решава да им разкаже за Георг Кантор и начина за построяване на „Канторовия прах”. Това предизвикало голям интерес сред свещениците и един от тях се съгласил да обучава Еглаш.
След като преминал ритуалите за посвещаване в бамански свещеник, учения разбира, че гадаенето по пясък по същество представлява генериране на символи чрез прилагане на една и съща операция върху тях. Самите символи се получават чрез чертаене на четири реда черти върху пясъка, а операцията се състои в определяне на четен или нечетен е броя на чертите за всеки ред (фиг.15). В резултат се получава нова фигура от черти, която в комбинация с други се подлага на същата операция. Получава се едно самогенериращо се разнообразие от символи.
Системата за гадаенето по пясък е разространена в Европа от ислямски мистици. През 12 век Хюго Санталия въвежда системата в средите на алхимиците под името геомантика – гадаене чрез земята. Немският математик Лайбниц в едно от своите съчинения споменава за геомантиката, като предлага вместо да се използват една черта и две черти, да се използват нула и единица. Джордж Бул взел двоичния код на Лайбниц и създал булевата алгебра, а Джон фон Нойман взел булевата алгебра и създал компютъра. Така една фрактална система зародила се в дълбините на Африка по един магичен начин се свързва с технологиите на съвремения свят.
Могат да се дадат много примери за съществуването на фрактални форми навсякъде около нас – в структурата на растенията и животните, в турбулентните завихряния, в движението на цените на стоките и валутата, в честотата на употреба на думите и много още други.
Все пак фракталите не са панацея. Не всичко може да бъде обяснено с тях и не всички форми в нашия сват са фрактални. Математическата им обосновка не е изчистена и прецизирана. Манделброт ги оставя дефинирани само в най-общ вид, защото опитите му да ги формулира по-точно водят до това, че някои разбираемо фрактални форми не се вместват в тези формулировки. Възможно е в бъдеще да се окаже, че фракталите са част от една по-голяма група форми със специфична подредба, която би обяснила повече съществуващи структури в Природата. За момента фракталната геометрия само ни помага да подредим още малко от неподредената картина на света.
Ваньо Янков
